4h4-auto.ru

4х4 Авто
3 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Наиболее вероятное число успехов

Наиболее вероятное число успехов

Наиболее вероятное число успехов в серии повторных независимых испытаний – это такое число , при котором биномиальная вероятность является наибольшей для данного числа испытаний .

Таким образом, вероятность является наибольшей среди вероятностей , , …, , …, .

Наиболее вероятное число успехов удовлетворяет неравенству

Отметим, что — целое число и может быть не единственным.

Пример 5. Найти наивероятнейшее число годных деталей среди 19 проверяемых, если вероятность детали быть годной, равна 0,9.

По условию задачи , , . Найдем целое число , удовлетворяющее неравенству: , или , или .

Это означает, что вероятности и — наибольшие среди всех биномиальных вероятностей при .

Наивероятнейшее число годных деталей равно 17 или 18. Другими словами, при заданных условиях среди 19 проверяемых деталей вероятнее всего будет 17 или 18 годных деталей.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

2.1. Вычисление при больших и не малых

Теорема. При больших значениях и не малых вероятность появления события раз в схеме из независимых испытаний Бернулли приближенно вычисляется по формуле , где вспомогательная величина .

Функция называется малой функцией Лапласа. Ее значения приведены в таблице (Приложение 1).

Пример 6. Найти вероятность того, что при 100 подбрасываниях монеты герб появится ровно 50 раз.

Событие — появление герба при одном подбрасывании монеты, . По условию задачи . Так как число испытаний достаточно велико, то искомую вероятность найдем по приближенной формуле Муавра-Лапласа:

Значение найдено по таблице в Приложении.

2.2. Свойства и график функции

График функции

Свойства функции

§ Функция четная: . Значит, ее график симметричен относительно оси ординат.

§ Функция принимает только положительные значения. Значит, ее график выше оси абсцисс.

§ Если значения аргумента , то значение функции . Поэтому в таблице приведены значения функции только для значений аргумента от 0 до 5.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

3.1. Вычисление при больших

Теорема. При большом числе независимых испытаний вероятность появления события от до раз приближенно вычисляется по интегральной формуле Муавра-Лапласа , где и .

Функция называется функцией Лапласа, еезначения приведены в таблице (Приложение 2).

3.2. Свойства и график функции Лапласа

График функции Лапласа

Свойства функции Лапласа

§ , значит, график проходит через начало координат.

§ — нечетная функция, значит, график симметричен относительно начала координат.

§ , значит, прямые и являются горизонтальными асимптотами. При полагают , а при полагают

Пример 7. Найти вероятность того, что при = 100 подбрасываниях монеты герб появится от = 40 до = 60 раз.

Вероятность найдем, применяя приближенную формулу Муавра Лапласа.

По формуле получим:

Здесь использовано свойство нечетности функции Лапласа . Значение найдено по таблице.

Теорема Пуассона

Теорема. Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала ( ), то для вычисления вероятности применяют приближенную формулу Пуассона , где — число появлений события в независимых испытаниях; — среднее число появления события в испытаниях. Значения функции Пуассона приведены в таблице (Приложение 3).

Пример 8. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят на станцию только один абонент.

Вероятность того, что абонент дозвонится в течение часа (успех) мала, . Число одинаковых испытаний (звонки абонентов) велико .

Для нахождения вероятности применим теорему Пуассона. Найдем значение , тогда вероятность .

Контрольные вопросы

1. Опишите схему независимых испытаний Бернулли. Приведите пример.

2. Можно ли считать схемой Бернулли многократное бросание кубика?

3. Вероятность какого события обозначается ?

4. Как можно найти вероятность : 1) при небольшом числе испытаний; 2) при большом числе испытаний?

5. Почему сумма всех биномиальных вероятностей равна 1?

6. Вероятность какого события обозначается ? Как можно найти эту вероятность: 1) при небольшом числе испытаний; 2) при большом числе испытаний?

7. Как в последовательности независимых испытаний найти вероятности: 1) только одного успеха; 2) хотя бы одного успеха; 3) полного успеха; 4) полной неудачи?

8. Что понимается под наиболее вероятным числом успехов? Как найти это число?

Занятие 7. Последовательные независимые испытания.

В настоящем разделе мы изучим основные закономерности, относя­щиеся к одной из важнейших схем теории вероятностей — схеме по­следовательных независимых испытаний. В это понятие мы вклады­ваем следующий смысл.

Под испытанием(опытом) мы станем понимать осуществление опреде­ленного комплекса условий, в результате которого может произойти то или иное элементарное событие пространства U элементарных событий. Математической моделью последовательности п испытаний является новое пространство элементарных событий, состоящее из точек , где произвольная точка пространства U, отвечающая испытанию с номером i.

Предположим, что для s-го испытания пространство U разбито на k несовместимых случайных событий , т. е. предположим, что

Событие назовем i-м исходом при s-м испытании. Обозначим вероятность i-го исхода при s-м испытании через .

Обозначим через событие, состоящее из всех тех точек пространства , для которых . Если в пространстве Un имеет место равенство при любых — то испытания называются независимыми.

В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда вероятности собы­тий не зависят от номера испытания s; обозначим в этом случае ; в силу несовместимости и единственной возможности исходов очевидно, имеем . Эта схема впервые была рассмотрена Я. Бернулли в важнейшем частном случае ; по этой причине указанный случай носит название схемы Бернулли. В схеме Бернулли обычно полагают .

Из определения независимых испытаний вытекает следующий результат:

Теорема. Если данные п испытаний независимы, то любые т из них также независимы.

Простейшая задача, относящаяся к схеме независимых испытаний, состоит в определении вероятности того, что при п испыта­ниях событие А наступит т раз, а остальные п—т раз наступит противоположное событие , обозначим это событие В. Тогда

Здесь Аi – событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании. Событие В представляет собой сумму несовместных событий, тогда согласно теореме сложения вероятностей получаем

Читайте так же:
Регулировка подачи топлива на триммере

Вероятность каждого слагаемого в данной сумме по теореме умножения для независимых событий равна . По теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме только что вычисленных вероятностей для всех различных способов т появлений события А и n—т не появлений среди п испы­таний. Число таких способов, как известно из теории сочетаний, равно ; следовательно, искомая вероятность равна

Так как все возможные несовместимые между собой исходы п испытаний состоят в появлении события 0 раз, 1 раз, 2 раза, . n раз, то ясно, что

Легко заметить, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням x.

Исследуем далее, как ведет себя вероятность при различных значениях m. с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте m убывает. При этом, если является целым числом, то максимальное значение вероятность принимает для двух значений m, а именно и . Если же не является целым числом, то максимальное значение вероятности достигается при , равном максимальному целому числу, большему из и . Число называют наивероятнейшим значением и обозначают через .

Поставим теперь более общую задачу.

Рассмотрим последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна.

Обозначим через . Аi – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании – событие состоящее том что А не произойдет в i-ом испытании соответственно.

Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.

Вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции

(7.6)
(7.7)

Обозначим через событие состоящее в том, что А появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность обозначим , тогда

В тех случаях когда удобно пользоваться следующей формулой

Тест

Вычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях.

1. В каком случае опыты называют независимыми?

а) Если вероятности исходов (событий) в каждом из предыдущих опытов не влияют на вероятности этих исходов в последующих опытах

б) Если вероятности исходов в каждом из опытов не зависят от порядка следования этих опытов

в) Вероятности исходов (событий) в каждом из предыдущих опытов влияют на вероятности этих исходов в последующих опытах

2. Если вероятность появления события в каждом из опытов одинакова, то вероятность появления события m раз при n опытах с ростом m меняется следующим образом:

а) Сначала убывает, затем достигает своего наименьшего значения, а потом увеличивается

б) Монотонно убывает

в) Сохраняет постоянное значение

г) Монотонно возрастает

д)Сначала возрастает, затем достигает своего наибольшего значения, а потом уменьшается

3. Если вероятность появления события в каждом из опытов одинакова, то вероятность появления события А m раз при n опытах определяется по формуле

4. Укажите формулы, по которой можно вычислить вероятность появления события А не менее m раз при n опытах , если вероятность появления события А в каждом из опытов одинакова

5. Чему равно наивероятнейшее значение числа m появлений события, если вероятность появления события в каждом из опытов одинакова?

а) Целой части числа

б) Максимальному целому числу, большему из и

в) Целой части числа , если оно является дробным, или максимальному целому числу, большему из и , если является целым

6. Если опыты независимы, но вероятности появления события А в каждом из них различны, то вероятность появления события m раз при n опытах равна коэффициенту при в разложении производящей функции, которая имеет вид:

Решение типовых задач

Пример 7.1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен):

а) три партии из четырех или пять из восьми;

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны p = q = l/2.

а) Вероятность выиграть три партии из четырех

Вероятность выиграть пять партий из восьми

Так как , то вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех

а вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми

Так как , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.

Пример 7.2. Имеется шесть потребителей электрического тока, для первого из которых при определенных условиях вероятность того, что произойдет авария, приводящая к отклю­чению потребителя, равна 0,6, для второго — 0,2, а для четырех остальных — по 0,3. Определить вероятность того, что генератор тока будет отключен полностью:

а) если все потребители соединены последовательно;

б) если потребители соединены так, как показано на схеме (рис. 6).

а) Вероятность неотключения всех шести потребителей равна произведению вероятностей неотключения каждого потребителя, т. е.

Искомая вероятность равна вероятности отключения хотя бы одного потребителя, т. е. .

б) В этом случае генератор будет отключен полностью, если в каждой паре последовательно соединенных потребителей отключен хотя бы один потребитель:

Пример 7.3. Большая партия изделий содержит один процент брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,95?

Искомое число n находится по формуле .

В данном случае , а . Поэтому .

Пример 7.4. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.

В данном случае n = 10, p = 0,4, (n + 1)p = 4,4. Наивероятнейшеё число , заявок равно целой части числа (n + 1)p, т. е. p = 4.

Читайте так же:
Как регулировать насос дозатор

Вероятность четырёх заявок из десяти

7.4. Задачи для самостоятельной работы

7.1. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит:

Известно, что все номера четырехзначные, неповторяю­щиеся и равновозможные (считается возможным номер 0000).

(Ответ:а) p = ; б) р = )

7.2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье:

а) пять мальчиков;

б) мальчиков не менее трех, но и не более восьми.

(Ответ:а) p = б) р = )

7.3. В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. Определить вероятность того, что пять читателей подряд возьмут книги или только по технике, или только по математике, если каждый из них берет только одну книгу.

(Ответ:p = 0,17)

7.4. Событие В наступает в том случае, если событие A появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В, если вероятность появления события A при одном опыте равна 0,3 и произведено:

а) пять незави­симых опытов;

б) семь независимых опытов.

(Ответ:а) p = 0,163; б) р = 0,353)

7.5. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью 0,3. Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если событие A произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие A не имело места, и наступает с вероятностью 0,6, если событие A имело место один раз. Определить вероятность появления события В.

(Ответ: p = )

7.6. По мишени в тире произведено 200 независимых выстрелов при одинаковых условиях, которые дали 116 попаданий. Определить, какое значение вероятности попадания на один выстрел более вероятно: или , если до опыта обе гипотезы равновероятны и единственно возможны.

(Ответ: Вероятнее первая гипотеза)

7.7. Вероятность хотя бы одного появления события при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события A при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

(Ответ:p = 0,2)

7.8. Вероятность появления некоторого события в каждом из восемнадцати независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события по крайней мере три раза.

(Ответ:p = 0,73)

7.9. Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает кольца до первого попадания. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,1.

(Ответ:p = )

7.10. Определить вероятность получения не менее 28 очков при трех выстрелах из спортивного пистолета по мишени с максимальным числом очков, равным 10, если вероятность получения 30 очков равна 0,008. Известно, что при одном выстреле вероятность получения восьми очков равна 0,15, а менее восьми очков — 0,4.

(Ответ:p = )

7.11. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что:

а) у обоих будет равное количество попаданий;

б) у пер­вого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

(Ответ:а) p = 0,321; б) р = 0,243)

7.12. Для прикуривания гражданин пользовался двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку, Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Какова вероятность, что во второй коробке при этом k спичек, если вначале в каждой коробке было по n спичек? (Задача Банаха).

(Ответ: p = )

7.13. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0,7, а в девятку — 0,3. Определить вероятность того, что данный стрелок при трех выстрелах наберет не менее 29 очков.

(Ответ:p = 0,784)

7.14. Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Определить вероятность отказа прибора в серии из трех независимых опытов, если вероятности отказа прибора при одной, двух и трех опасных перегрузках соответственно равны 0,2; 0,5 и 0,8.

(Ответ:p = 0,2816)

7.15. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,9 получить не меньше трех отказов?

(Ответ:Должно быть )

7.16. Охотник стреляет в лося с расстояния 100 м и попадает в него с вероятностью 0,5. Если при первом выстреле попадания нет, то охотник стреляет второй раз, но с расстояния 150 м. Если нет попадания и в этом случае, то охотник стреляет третий раз, причем в момент выстрела расстояние до лося равно 200 м. Считая, что вероятность попадания обратно пропорциональна квадрату расстояния, определить вероятность попадания в лося.

(Ответ:p = )

7.17. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле p = 0,2. Сколько нужно произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в десятку хотя бы один раз?

Найти наивероятнейшее число автомашине не требующих регулировки

Решение задач данной группы надо начинать с определения исходов (равновероятностных или разновероятностных), заданного в условии задачи.

Решение задач с равновероятностными исходами.

Количество информации в случае равных вероятностей исходов события определяется по формуле Хартли: I=log​2 N или 2 ​I =N, где i- количество информации в полученном сообщении, N-количество возможных исходов события.

Задача 1. В коробке 16 карандашей, все карандаши разного цвета. Какое количество информации получено в сообщении, что вытащен красный карандаш?

Решение. Так как в коробке все карандаши разного цвета, поэтому вероятность вытащить карандаш любого цвета одинакова, и равна 1/16, т.е. количество вариантов в сообщении, что «вытащили карандаш такого-то цвета» равна N=16.

Воспользуемся формулой I=log​2​N в нашем случае

I= log216,

I=log22 4 ,

I=4 бит.

Можно также воспользоваться вторым вариантом формулы Хартли нахождения количества информации в сообщении через степенную функцию.

2 I =N,

2 I =16, 2 I =2 4 ,

Читайте так же:
Пускатель с регулировкой оборотов

I=4 бит.

Ответ: количество информации в сообщение о том, что из коробки с карандашами вытащили карандаш красного цвета равно 4 бит.

Задача 2. Сообщение о том, что Вася живет в пятом подъезде, несет 4 бита информации. Сколько подъездов в доме?

Решение. Эта задача является «обратной! По отношению к задачи 1. Для решения данной задачи используется формула Хартли 2 I =N.

В условии задан информационный вес сообщения I=4бит.

Необходимо найти количество возможных событий (в данном случае, количество подъездов в доме)

2 I =N,

2 4 = N,

2 4 =16,

N =16 (под.)

Ответ: в доме 16 подъездов.

Задача 3. Друзья рисовали плакат с надписью «С днем рождения, Наташа!» У них был набор баночек с краской различных цветов. Сколько баночек с цветной краской было у ребят, если сообщение о том, что надпись была красного цвета, несет 3 бит информации?

Решение. Для решения данной задачи также используется формула Хартли 2 I =N.

В условии известен информационный вес сообщения I=3бит.

Необходимо найти количество возможных событий (в данном случае, количество баночек с краской)

2 I =N,

2 3 = N,

2 3 =8,

N=8 (б.)

Ответ: у ребят было 8 баночек с краской разного цвета.

Задача 4. В книжном магазине 16 стеллажей с художественной литературой, на каждом – по 8 полок. Консультант сообщили покупателю, что нужная книга находится на 2-ой полке 4-го стеллажа. Какое количество информации получил покупатель?

Решение. Для решения данной задачи также используется понятие равновероятных событий и формула Хартли 2 I =N.

1) Число стеллажей (случаев) – 16.

N1 = 16,

2 I =N,

2 I =16,

2 4 =16,

I1= 4 бита – количество информации, в сообщении, что книга находится на таком – то стеллаже.

2) Число полок на каждом стеллаже (случаев) – 8.

N2 = 8,

2 I =N,

2 I =8,

2 3 =8,

I2= 3 бита — количество информации, в сообщении, что книга находится на таком – то стеллаже.

3) I = I1 + I2,

I = 4 бита + 3 бита = 7 бит.

Ответ: информационный объем сообщения о том, что книга находится на определённом месте, равен 7 бит.

Задача 5. Загадывается число в диапазоне от 1 до 200. Какое наименьшее количество вопросов надо задать, чтобы отгадать число, если на вопросы можно отвечать только «Да» или «Нет»?

Решение. Самый длинный, нерациональны способ отгадывания этого числа- это задание вопросов типа «Это число 1», «Это число 2» и т.д. Если задуманное число 199, нужно задать 199 вопросов. Другой, но тоже нерациональный способ просто наугад называть число из указанного диапазона. Рациональнее задавать такие вопросы, которые уменьшают количество вариантов вдвое. Например, если загадано число 152, то такими вопросами могут быть

1 вопрос: Число >100? Да (Вариантов 100)

2 вопрос: Число < 150? Нет (Вариантов 50)

3 вопрос: Число > 175? Нет (Вариантов 25) и т.д.

Вероятность ответов «Да» и «Нет» в каждом из наборов вариантов одинаковая, воспользуемся формулой Хартли 2 I =N.

2 I =200,

т.к. 2 7 =128, а 2 8 =256, то 7 < I < 8.

Т.к. количество вопросов нецелым числом быть не может, то необходимо задать не более 8 вопросов.

Если ответ получается не целый (как в данном случае I=7,644), выберите следующее целое число (I=8бит).

Следовательно основную формулу для расчета количества информации ( 2 I =N) правильнее было бы записать так: наименьшее целое I такое, что 2 I >=N.

Для отгадывания числа нужно задать 8 вопросов. Продолжим задавать вопросы для числа 152.

4 вопрос: Число > 160? Нет

5 вопрос: Число > 155? Нет

6 вопрос: Число < 153? Да

7 вопрос: Число > 151? Да

8 вопрос: Число =152? Да

Ответ: Наименьшее количество вопросов для отгадывания числа равно 8.

Решение задач на вычисление количества информации разновероятностных исходов.

Количество информации в случае различных вероятностей событий определяется по формуле Шеннона:

где I – количество информации;

Pi — вероятности i-го исхода событий;

Ii -частное количество информации, получаемое в случае реализации i-ого исхода;

N – количество возможных событий;

Ki — количество случаев реализации i-го события.

Задача 1. В реке обитают щуки и сомы. Подсчитано, что щук 1500, а сомов — 500. Сколько информации содержится в сообщениях о том, что рыбак поймал щуку, сома, поймал рыбу?

Решение. События поимки щуки или сома не являются равновероятными, так как сомов в озере меньше, чем щук. Общее количество щук и сомов в реке 1500 + 500 = 2000.

Pi=k/N, Pi- вероятность i-го исхода событий

Вероятность попадания на удочку щуки P1=K1/N, где K1-количество щук в реке, N— общее количество рыб в реке.

P1 = 1500/2000 = 0,75.

Вероятность попадания на удочку сома P2 = 500/2000 = 0,25.

I1 = log2(1/P1), I2 = log2(1/P2), где I1 и I2 – количество информации в сообщении когда поймали щуки или сома соответственно.

I1 = log2(1 / 0,75) ≈ 0,42 бит, I2 = log2(1 / 0,25)≈2 бит – количество информации в сообщении поймали щуку или поймали сома соответственно.

Количество информации в сообщении поймали любую рыбу рассчитывается по формуле Шеннона

I = P1log2(1/P1)+ P2log2(1/P2) I = 0,75*0,42+0,25*2 =0,815бит≈0,8бит

Ответ: в сообщении о том, что поймали щуку, содержится 0,42бит, поймали сома – 2бит, поймали рыбу- 0,8 бит информации.

Задача 2. На автостоянке находятся автомобили черного, красного и белого цветов, причем 36 из них красного цвета. Информационный объем сообщения «На стоянку заехал автомобиль белого цвета» равен 8 бит. Количество информации в сообщении «На стоянку заехал не черный автомобиль» равно 6 битам. Определите, какова вместимость автостоянки и сколько на стоянке белых, красных и черных авто.

Решение. В данной задаче разное количество автомобилей черного, красного и белого цвета, поэтому въезд на стоянку автомобиля определенного цвета имеет разную вероятность. Будем использовать формулу Шеннона.

Из условия задачи имеем

Iб = log2(1/Pб ),​ где Iб-количество информации в сообщении "На стоянку заехал автомобиль белого цвета"

Читайте так же:
Регулировка зажигания ямз 236 бе2

8=log2(1/Pб), где Рб— вероятность въезда белого автомобиля.

1/Рб=2 8 , тогда Рб=1/2 8 =1/256.

Обозначим через N количество автомобилей на стоянке.

Так как на стоянке находится 36 авто красного цвета, тогда вероятность выезда красного автомобиля можно вычислить по формуле:

Р​К =36/N, где Рк – вероятность въезда красного автомобиля.

Используя информационный объем сообщения «На стоянку заехал не черный автомобиль» (т.е. белый или красный), определим, вероятность встречи не черного автомобиля

6=log​2​(1/Р​б+кр​) , следовательно 1/Рб+кр=2 ​6 ,

Так как Р​б+кр​=Р​б​кр​=1/64, получим, 1/256+36/N=1/64, тогда (N+36х256)/(256+N)=1/64

64(N+9216)=256N,

N+9216=4N,

3N=9216,

N=3072 – количество машин на автостоянке.

Т.к. Рб=Nб/N, где Nб – количество автомобилей белого цвета,

Nб=N/256=3072/256=12 – количество автомобилей белого цвета.

Пусть — количество автомобилей черного цвета, тогда

Nч= N- Nб— Nкр=3072-12-36=3024-количество автомобилей черного цвета.

Ответ: на автостоянке 3072 машины, среди них 12- автомобили белого цвета, 36-красного, 3024-черного цвета.

Задача 3. У скупого рыцаря в сундуке золотые, серебряные и медные монеты. Каждый вечер он извлекает из сундука одну из лежащих в нем 96 монет, любуется ею и кладет обратно в сундук. Количество информации, содержащееся в сообщении «Из сундука извлечена серебряная монета», равно четырем битам. Информационный объем сообщения «Из сундука извлечена золотая монета» равен пяти битам. Определить количество медных, золотых и серебряных монет в сундуке.

Решение. В данной задаче в сундуке лежит разное количество золотых, серебряных и медных монет, поэтому извлечение из сундука золотой, серебряной или медной монеты имеет разную вероятность. Будем использовать формулу Шеннона.

Из условия задачи имеем 4=log2​(1/Р​с​), где Рс- вероятность извлечения купцом из сундука серебряной монеты.

1/Рс=2 ​4 , тогда Рс=1/2 ​4 =1/16.

Обозначим через N количество монет в сундуке, тогда из условия задачи имеем. Рс=Nc/N, где Nс – количество серебряный монет в сундуке,

N=96-по условию задачи.

1/16=Nc/96 ,

Nc=96/16=6-серебряных монет в сундуке.

Аналогичным образом находится количество золотых монет , 5=log​2​(1/Рз), где Рз- вероятность извлечения золотой монеты.

1/Рз=2 ​5 , тогда Рз=1/2 5 =1/32.

Рз=Nз/N ,где Nз – количество золотых монет в сундуке,

N=96-по условию задачи.

1/32=Nз/96 ,

Nз=96/32=3-золотых монеты в сундуке.

Nм=N-Nc-Nз,

Nм=96-6-3=87 – медных монет в сундуке.

Ответ: В сундуке 87 медных, 3 золотых, 6 серебряных монет.

Задача 4. В многоквартирном доме имеются однокомнатные, двухкомнатные и трехкомнатные квартиры. Для анкетирования наудачу выбирается одна из квартир. Информационный объем сообщения «Квартира не двухкомнатная» равен 7-log224бит. Количество информации в сообщении «Квартира не однокомнатная» равно 7-log2120бит. Определите количество информации в сообщении «Квартира трехкомнатная».

Решение. Проведем преобразование числового выражения 7-log224: заменив число 7 на log2128 и применив правило вычисления разности логарифмов получим: 7-log​2​24=log2128-log224=log2(128/24).

Следовательно, информационный объем сообщения «Квартира не двухкомнатная» (т.е. однокомнатная или трехкомнатная) равен:

Аналогичным образом проведем преобразование числового выражения 7-log2120.

Информационный объем сообщения «Квартира не однокомнатная» (т.е. двухкомнатная или трехкомнатная) равен: I2+3=log2(128/120) .

Используя формулу Шеннона Ii=log2(1/Pi) можно вычислить вероятность выбора в многоквартирном доме не двухкомнатной квартиры, т.е. однокомнатной или трехкомнатной:

log2(128/24)=log2(1/P1+3), тогда 128/24=1/P1+3 , следовательно P1+3=24/128.

Аналогичным образом вычислим вероятность выбора не однокомнатной квартиры (т.е. двухкомнатной или трехкомнатной).

log2(128/120)=log2(1/P2+3), тогда 128/120=1/P2+3 следовательно P2+3=120/128.

Используя аксиомы сложения вероятностей вычислим вероятность выбора однокомнатной квартиры Р1:

Аналогичным способом вычислим вероятность выбора трехкомнатной квартиры:

Теперь по формуле Шеннона подсчитаем информационный объем сообщения «Квартира трехкомнатная»:

Ответ: в сообщении «Квартира трехкомнатная» содержится 3 бит информации.

Найти наивероятнейшее число автомашине не требующих регулировки

Решение задач с помощью классического определения можно представить в виде следующей схемы.

1. Во-первых, необходимо четко представить, в чем состоит испытание (эксперимент, опыт), в результате реализации которого происходит или не происходит интересующее нас случайное событие А.

2. Во-вторых, мы должны определить, сводится ли это испытание к схеме случаев. Для этого:

а) нужно сформулировать, что можно рассматривать в качестве элементарных исходов испытания (обычно при решении задач в качестве элементарных исходов берут самые простые исходы, которые уже нельзя «расщепить», хотя это вовсе и не обязательно);

б) элементарные исходы должны образовывать полную группу событий, т.е. одно и только одно из них должно произойти в результате реализации испытания;

в) они должны быть равновозможны , исходя из симметрии исходов испытания;

г) количество элементарных исходов n (их нужно найти!) должно быть конечным.

Только при выполнении всех этих условий для расчета вероятности случайного события можно пользоваться классическим определением.

3. В-третьих, необходимо определить элементарные исходы, благоприятные случайному событию А, т.е. такие, при реализации которых А происходит. Число благоприятных исходов m (как в прочем и n ) часто находится с помощью формул комбинаторики.

4. И, наконец, согласно классическому определению вероятность случайного события А — P ( A ) определится как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию m , к общему числу элементарных исходов n :

P ( A ) = .

Пример 5.12. Какова вероятность выигрыша в лотерее 5 из 36 (для выигрыша необходимо совпадение всех 5 чисел)?

Решение. Испытание состоит в случайном выборе 5 чисел из 36 возможных. Элементарные исходы испытания – это всевозможные наборы 5 чисел, различающиеся только по составу и не различающиеся по расположению чисел, так как порядок выпадения чисел не имеет значения. Примеры элементарных исходов: 1,2,3,4,5; 1,2,3,4,6 и т.д. Из случайности выбора очевидно, что такие исходы – равновозможны . Общее количество элементарных исходов, образующих полную группу событий как всевозможных вариантов розыгрыша 5 чисел из 36, равно числу сочетаний из 36 по 5 , т.е. n = . Число благоприятных вариантов для выигрыша (совпадение всех 5 чисел) равно одному: m =1 – только на одну комбинацию чисел приходится полный выигрыш. Таким образом, вероятность выигрыша в этой лотерее

Читайте так же:
Как отрегулировать фары на ситроен берлинго

Пример 5.13. Какова вероятность того, что номер случайно выбранной автомашины не содержит одинаковых цифр?

Решение. Здесь испытание состоит в выборе случайным образом номера автомобиля, состоящего из трех цифр (мы не рассматриваем буквенные отличия номеров). Элементарные события – всевозможные номера (трехзначные числа, начиная от 001 и заканчивая 999). Полное количество элементарных исходов испытания – количество всех номеров – n = 999.

В примере 5.10 мы нашли количество номеров автомашин, цифры которых не повторялись. Для нашего примера это число – количество благоприятных исходов m искомого случайного события А. m = . Значит, вероятность того, что номер случайно выбранной автомашины не будет содержать одинаковых цифр

Пример 5.14. К урсант выучил 40 экзаменационных вопросов из 60. Каждый билет состоит из двух вопросов, распределенных случайным образом. Найдите вероятность того, что курсант знает а) оба вопроса из вытащенного наугад билета; б) хотя бы один вопрос.

Решение. Рассмотрим испытание, состоящее в выборе билета, т.е. двух вопросов из 60. Общее количество исходов такого испытания равно числу сочетаний (порядок вопросов в билете несущественен) из 60 по 2. Они равновозможны , образуют полную группу событий и число их конечно n = . По формуле (5.3) n = . Значит, испытание сводится к схеме случаев и можно пользоваться классическим определением вероятности. Количество благоприятных исходов события А – курсант знает оба вопроса из доставшихся – определяется числом сочетаний из 40 по 2. = . Вычисляем по той же формуле: . Подставляя найденные и n в формулу (5.1), получим искомую вероятность .

Найдем вероятность события В – курсант знает хотя бы один вопрос из двух доставшихся. Множество благоприятных исходов данного события состоит из множества благоприятных исходов события А (курсант знает оба вопроса в билете) и множества исходов, при которых курсант знает один вопрос, а другой – нет. Число таких исходов равно произведению числа выученных вопросов (способы выбора первого вопроса) на число не выученных вопросов (способы выбора второй вопрос), т.е. 40 20=800. Таким образом, . И вероятность события В:

Пример 5.15. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.

Решение . Испытание состоит в броске двух костей (идеальных кубиков). Элементарным событием будет упорядоченная пара целых чисел от 1 до 6. Например, (1,4), что означает выпадение единицы на первой кости и четверки – на второй. Все элементарные исходы можно представить в следующей таблице:

Число элементарных исходов равно 36. Так как броски никак не зависят друг от друга, то элементарные исходы – равновозможны .

Обозначим случайное событие А – получение в сумме 8 очков. Благоприятные исходы этого события: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Всего 5 исходов. Значит, вероятность того, что в сумме на двух игральных костях выпадет восемь очков, равна:

Пример 5.16. Задача ландскнехта! Однажды к Галилею за консультацией обратился ландскнехт. Его интересовал вопрос: что вероятнее при броске трех игральных костей – получить в сумме 11 или 12. Он заявил, что согласно логике обе эти суммы должны выпадать одинаково часто, но на опыте (а ландскнехт проделал его несколько тысяч раз) сумма 11 выпадала чаще 12.

В качестве элементарных событий испытания, состоящего в бросании трех костей и подсчитывании при этом суммы всех очков, ландскнехт взял варианты разложения получающейся суммы. Так, и 11, и 12 в сумме можно получить шестью различными способами:

Отсюда, по его мнению, и вытекает равная вероятность выпадения этих сумм.

Однако Галилей нашел ошибку в его рассуждениях. Оказывается, варианты разложения сумм нельзя брать в качестве элементарных событий в таком виде, как это делал ландскнехт, потому что они не равновозможны . Действительно, разложение 4+4+4 может быть получено единственным образом, когда четверка выпадает на всех трех костях. Разложение 1+5+5 может быть получено уже тремя различными способами: 1+5+5=5+1+5=5+5+1, когда единица выпадает на первой, либо на второй, либо на третьей кости, а на других – пятерки. А разложение 1+4+6 можно представить шестью различными вариантами: 1+4+6 = 1+6+4 = 4+1+6 = 4+ 6+1= 6+1+4 = 6+4+1. Здесь, к примеру, сумма 1+4+6 означает, что единица выпала на первой кости, четверка — на второй, а шестерка – на третьей. Таким образом, общая сумма в 11 очков может быть получена 27 различными способами, а 12 — только 25 способами. В качестве элементарного события необходимо брать упорядоченную тройку целых чисел, каждое из которых изменяется от 1 до 6, например (1, 2, 5). Общее количество элементарных исходов подсчитывается из правила произведения: 6 × 6 × 6= =216. И, согласно классическому определению, вероятность выпадения суммы в 11 очков , а суммы в 12 очков — . Эти события имеют разную вероятность, хотя разность вероятностей составляет всего 0,009.

В рассмотренных задачах для использования классического определения вероятности в расчетах необходимо выполнение следующих условий:

1) число элементарных событий, образующих полную группу, должно быть конечным;

2) данные элементарные события должны быть равновозможны .

Если не выполнено хотя бы одно из двух условий, классическое определение не применимо. На практике существует много экспериментов, элементарные события которых не удовлетворяют первому или второму условию. Следовательно, для них нельзя находить вероятности случайных событий, пользуясь классическим определением. Однако существуют другие определения вероятности, не обладающие рассмотренными недостатками.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector